Пример исследования функции на выпуклость

Пусть имеем функцию:

f(x₁,x₂,x₃)=3x₁² +2x₂² +x₃² -2x₁x₂ -2x₁x₃ +2x₂x₃ -6x₁ -4x₂ -2x₃.

Тогда градиент этой функции:

.

Матрица Гессе:

.

Исследуем H_f:

1. H_f - симметрическая матрица.
2. Все диагональные элементы H_f положительны.
3. Ведущие главные определители Н равны:

.

Следовательно, H_f - положительно определенная матрица.

Отсюда следует, что f-выпуклая функция.

Более того, f строго выпуклая функция и обладает единственной точкой минимума.